«No te preocupes si tienes dificultades en matemáticas, ¡puedo asegurarte que las mías son mucho mayores!» - Albert Einstein (1879-1955)
Aprender matemáticas (álgebra, geometría, trigonometría, probabilidad y logaritmos, función exponencial y límites de función, etc.) suele ser una pesadilla para algunos alumnos.
Pero si eres un apasionado de las matemáticas o quieres saber más sobre este concepto matemático, aquí tienes una reflexión sobre el número e en Matemáticas, que suele ser una noción un poco abstracta para algunos alumnos.
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El número e: un capítulo del álgebra
Antes que nada, debemos saber que es "e" en matemáticas, siendo mas específico veremos que es "e" en el Algebra. Pero primero hay que definir que es el álgebra
Según define Wikipedia:
«El álgebra? es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética».
El álgebra es una disciplina matemática que se encuentra dentro de un conjunto de ramas de las matemáticas, como la geometría, la trigonometría, la aritmética y la lógica, entre otras.
Dentro del ámbito del álgebra, existen diversas categorías que incluyen el álgebra computacional, el álgebra no conmutativa, la estructura algebraica y la geometría algebraica, entre otras.
El estudio de las matemáticas abarca múltiples capítulos y no es posible que los alumnos adquieran todo el conocimiento matemático en pocos años. Sin embargo, el número e desempeña un papel importante en el aprendizaje, ya que es la base en la fórmula exponencial y las funciones, lo que lo convierte en un aspecto relevante del álgebra.
El número e brinda la oportunidad de comprender los conceptos de números racionales e irracionales, y cada número tiene una clasificación particular según sus características, como números enteros, decimales, reales o complejos.
Al conocer el número e, también se adquiere una comprensión de cómo funcionan las fracciones y cómo utilizarlas en el contexto algebraico.
Vamos a ver más concretamente qué es el número e.
¿Qué es el número "e" en Matemáticas?
El número "e" es un número irracional, lo que implica que no puede ser representado como una fracción exacta de dos números enteros. Tiene una cantidad infinita de decimales y no sigue una secuencia lógica discernible.
Por otro lado, a diferencia de un número racional que tiene una expansión decimal periódica, es decir, un cociente de dos números enteros cuya representación decimal puede ser infinita pero repetitiva, el número "e" se opone a esta característica.
Te lo explicamos:
La proporción 2/7 = 0,285714285714285714...
Los dígitos que hay después de la coma son una secuencia lógica y recurrente de decimales.
Los números irracionales más comunes son:
- El número ? (3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582...), objeto de investigación de eruditos desde la antigüedad;
- El número e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957... En la actualidad, cuenta con más de 5 mil millones de decimales (encontrados el 29 de agosto de 2016 por Ron Watkins).
En el siglo XVII, se produjo la introducción del número "e" junto con el desarrollo de los logaritmos, gracias a las investigaciones realizadas por el matemático escocés John Napier (1550-1617). Napier presentó en su libro de referencia de 1614 una herramienta que simplificaría los cálculos matemáticos: el logaritmo.
Aunque en el siglo XVII no existían calculadoras ni computadoras, esto no fue impedimento de que se llevaran a cabo investigaciones matemáticas. Ya en el siglo III a.C., Arquímedes había descubierto que era posible multiplicar ciertos números mediante sumas, utilizando potencias (exponentes).
El método desarrollado por Napier consistió en expandir el trabajo de Arquímedes, creando un método para realizar sumas en lugar de multiplicaciones, restas en lugar de divisiones, y divisiones por 2 en lugar de cálculos de raíces cuadradas. Esto condujo a la creación de las primeras tablas de logaritmos decimales con 8 decimales.
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Por ejemplo, si 10 3 = 10 x 10 x 10 = 1000; entonces log(1000) = 3 y si 10x = y, entonces log(y) = x.
El número e permite saber para qué valor el logaritmo neperiano es igual a 1.
si ln (x) = y, entonces x = exp(y) y exp (1) = e.
¿Te interesa conocer también el número 0?
La historia del número e en Matemáticas
A finales del siglo XVII, se estableció una definición para el número "e" como la base del logaritmo neperiano. Esta definición se caracteriza por la relación ln(e) = 1, que indica que el logaritmo natural de "e" es igual a 1. Esta relación se obtiene al evaluar la función exponencial en el número 1.
El matemático Jacques Bernoulli (1654-1705) se interesó en encontrar el valor máximo de los intereses en préstamos utilizando la técnica de interés compuesto. Esta técnica consiste en agregar el interés acumulado a la cantidad original depositada con la mayor frecuencia posible, lo que maximiza las ganancias.
Bernoulli observó que al prestar 1 € a una tasa de interés del 100 %, si el interés se calcula anualmente, la deuda al final del año es de 2 €. Sin embargo, si se calcula mensualmente, el monto al final del año es de 2,61 €, y si se calcula diariamente, el monto es de 2,71 €.
Bernoulli notó que a medida que se aumenta la frecuencia de cálculo del interés, el interés compuesto se estanca. De esta manera, al calcularlo cada segundo, el monto resultante es el mismo que al calcularlo diariamente (2,71 €). Fue a través de este razonamiento que J. Bernoulli descubrió el número "e".
Fue el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien, un poco más tarde, se interesó por el número e, tomando su nombre de la letra inicial de la palabra «exponencial».
Euler demostró en 1737 la irracionalidad del número e sobre la base del desarrollo continuo de fracciones y determinó el desarrollo de e en serie mediante la factorización, sabiendo que 4! = 1 x 2 x 3 x 4 -, como: e = 1 + 1/1! + 1/2! +... + 1 / k!
Cuanto más aumentas el valor de k, más se acerca el valor obtenido a e.
Echa un ojo también a nuestro artículo sobre el número i.
¿Para qué sirve el numero de Euler?
El número "e" fue empleado inicialmente, aunque sin una teorización explícita, en la búsqueda de la máxima ganancia al incrementar la frecuencia de cálculo de las tasas de interés en un préstamo. Jacques Bernoulli introdujo el método de interés compuesto en progresión continua, utilizando este concepto para optimizar las ganancias financieras.
Desde la obra de L. Euler, A lo largo del tiempo, el valor del numero de Euler ha experimentado un crecimiento constante y exponencial. Desde el año 1748, cuando se conocían 18 decimales, hasta el año 1949, se incrementó a 2010 decimales. Luego, en 1978, se alcanzaron 116,000 decimales, seguido de 10 millones en 1994, 1.25 mil millones en 1999 y finalmente, en el año 2016, se llegó a la asombrosa cifra de 5 mil millones de decimales conocidos.
¿Cuál es la razón detrás de esto? ¿A qué se debe? Claramente, es gracias al poder de la computación que se logran estos récords, superando las capacidades de un cerebro humano.
Entiendo, está bien, pero ¿Cuál es su utilidad?
Muchas veces, al prepararnos para los exámenes, tenemos la sensación de que muchos ejercicios de matemáticas son irrelevantes o, al menos, no los aplicaremos en la vida diaria. Saber la raíz cuadrada de cada número, resolver ecuaciones diferenciales, factorizar y derivar, comprender la función exponencial, el logaritmo, los números complejos, etc.
Encontrar los ámbitos de aplicación del número "e" puede resultar complicado. En resumen, utilizamos el número "e" siempre que deseamos calcular una magnitud exponencial.
- En economía: por el fenómeno del crecimiento exponencial, por el cálculo del interés pagado de forma continua.
- En biología: para medir la multiplicación de células vivas en un organismo,
- En física.
- En informática.
Aquí tienes una pregunta sorpresa de matemáticas: ¿Cómo puedes aproximar la población mundial después de 100 años si asumimos un crecimiento anual del 10 %, empezando con una población inicial de 1000 individuos?
Haremos la siguiente operación:
- Primer año (1000 x 1,1) = 1100
- Segundo año (1100 x 1,1²) = 1210
- Quinto año (1,000 x 1,1 elevado a 5) = 1610
- Después de 100 años: (1,000 x 1,1 elevado a 100) = 13.780.612
Según nuestro ejemplo, la población, con un crecimiento poblacional del 10 % por año, ¡se ha multiplicado por 13 780!
Con una población global de 7,55 mil millones en 2019 y un crecimiento de la población del 1,2 por ciento por año, ¡seríamos 24,88 mil millones de personas en la Tierra en 100 años!
Afortunadamente, la transición demográfica mitiga este cálculo exponencial.
Por cierto, ¿ya lo sabes todo sobre el número Pi?
Fórmulas que usan el número e
El número e en matemáticas se incluye actualmente en diversas fórmulas exponenciales, como se muestra a continuación:
- ln e = 1
- ln ex = x
- ex × ey = ex + y.
Sin embargo, entre todas las fórmulas existentes, la más reconocida y ampliamente conocida sigue siendo la fórmula de Euler, la cual fue descubierta por el científico suizo en colaboración con el matemático francés Abraham De Moivre. Esta fórmula se expresa de la siguiente manera:
ei? = ?1
Como puedes observar, esta fórmula combina no solo el número Pi y el número e, sino también el número imaginario i. Estos tres números son reconocidos y ampliamente estudiados en matemáticas.
Además, Leonhard Euler hizo otro descubrimiento notable al desarrollar una fórmula que no se basaba únicamente en el álgebra. En esta ocasión, la fórmula establece una conexión entre el álgebra del número e y la trigonometría. Euler encontró la siguiente fórmula:
eix = cos x + i sen x
Recursos para aprender el número e
El cálculo logarítmico, que incluye el logaritmo natural y la función exponencial, así como los conceptos de límites y derivadas en matemáticas, frecuentemente involucra el número e. Este número puede resultar difícil de comprender para un estudiante de secundaria.
Si crees que las clases particulares de matemáticas a domicilio son demasiado caras para un alumno con dificultades, puedes leer lecciones y hacer ejercicios en línea para aprender matemáticas de forma gratuita. Aquí tienes algunas maneras de conseguirlo.
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Además, te proporcionaré un ejemplo educativo y entretenido:
Existen diversas fuentes de ayuda disponibles para comprender el número e y sus fórmulas, más allá de las nuevas tecnologías e Internet.
Los libros de texto y los manuales de matemáticas son recursos valiosos que pueden brindarte orientación. Aunque no ofrecen la misma interactividad que las herramientas en línea, siguen siendo una fuente de inspiración para los profesores de matemáticas, quienes a menudo basan sus ejercicios en ellos.
Es importante que los estudiantes se familiaricen con la resolución de problemas estándar que se presentan en clase o durante los exámenes, en lugar de depender exclusivamente de juegos y ejercicios más atípicos, aunque útiles. Por lo tanto, es recomendable mencionar algunos libros que pueden ayudar a comprender mejor este tema.
Aquí tienes algunos libros de matemáticas y libros de texto que pueden ayudarte a comprender el número e y la fórmula exponencial:
- e: historia de un número de Eli Maor.
- Estudio del origen del número e y de sus aplicaciones en diversos campos de las Matemáticas por Kronecker (lo encontrarás en PDF en Internet).
Además, podrás encontrar numerosos libros de texto en tu instituto o en la biblioteca.
Por último, las clases individuales representan otra alternativa para estudiar el número e y sus fórmulas. Estas clases te brindarán la oportunidad de repasar aquellos conceptos que no hayas comprendido en clase o de obtener mejores calificaciones si ya has asimilado todo. El profesor tutor te acompañará y se dedicará a explicarte todas las complejidades de este número y su aplicación, tomando su tiempo para hacerlo. Además, puede proporcionarte ejercicios adaptados a tu nivel con el objetivo de que progreses de manera eficiente.
¡Solo queda repasar!
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