«La esencia de las matemáticas es la libertad» - Georg Cantor
Un número primo se refiere a un número entero positivo que tiene exactamente dos divisores enteros y positivos: el 1 y el propio número.
Según esta definición, el 0 y el 1 no cumplen con los requisitos para ser considerados números primos. Esto se debe a que el 0 es divisible por todos los enteros positivos, mientras que el 1 solo es divisible por sí mismo. Si bien algunos matemáticos solían considerar al 1 como número primo, esta idea fue abandonada a principios del siglo XX. La definición de número primo es opuesta a la de número compuesto, que es un número entero que tiene más de dos divisores distintos al 1 y a sí mismo.
Un total del 23% de los estudiantes de secundaria enfrentan dificultades en el campo de las matemáticas. Sin embargo, existe la posibilidad de superar estas dificultades a través de clases particulares y un poco de curiosidad. Tal vez fue la curiosidad lo que te llevó a encontrarte con este artículo, así que te invito a quedarte. Vamos a explorar el tema de los números primos y aprender cómo identificarlos.
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¿Cuál es el método para determinar si un número es primo?
El concepto de número primo es uno de los principios fundamentales de la aritmética y se enseña desde los primeros años de educación primaria.
La aritmética y, en particular, los números primos, tienen numerosas aplicaciones en el ámbito industrial. Por lo tanto, a lo largo de tu vida y según tu profesión, es probable que te encuentres con este concepto matemático con mayor o menor frecuencia.
¿Cuáles son los números primos?
No existe una respuesta definitiva a esta pregunta, ya que no hay una lista finita y completa de todos los números primos. Desde tiempos antiguos, gracias al teorema de Euclides sobre los números primos, sabemos que hay una infinidad de ellos.
Sin embargo, es posible conocer los números primos dentro de un rango específico. Por ejemplo, en el rango del 0 al 100, hay 25 números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Puedes memorizar esta lista si lo deseas. Es relativamente sencillo recordar que hay 25 números primos entre 0 y 100 y retenerlos en tu memoria a largo plazo.
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El algoritmo por pruebas de división
Los primeros enfoques utilizados para calcular los números primos se conocen como pruebas o test de primalidad y se basan en realizar pruebas de división por todos los números más pequeños que la raíz cuadrada del número seleccionado:
- Si el número es divisible por alguno de ellos, se considera compuesto.
- Si el número no es divisible por ninguno de ellos, se considera primo.
Sin embargo, este algoritmo resulta largo y tedioso. Muchas divisiones son innecesarias, especialmente las relacionadas con el número 4 si este no es divisible por 2.
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La criba de Eratóstenes
La criba de Eratóstenes se basa en el método de pruebas de división y nos permite obtener una lista de todos los números primos inferiores a un valor determinado.
Si has estudiado este método en la escuela, aquí tienes un repaso:
- Se empieza formando la lista de números enteros de 2 an (120 en el ejemplo).
- Un número es primo si es el primer número de la lista que no está tachado (spoiler alert: el primero es siempre 2).
- Luego tienes que tachar todos los enteros múltiples del número 2, comenzando con su cuadrado.
- Repite los pasos hasta que busques múltiplos de números mayores que la raíz cuadrada den, (aquí 120).
La raíz cuadrada de 120 es aproximadamente 10,9.
Y como una imagen vale más que mil palabras, aquí tienes todos los números primos del 2 a 120:
¿Tienes más curiosidades sobre los números matemáticos? Entonces, también échale un vistazo a nuestro artículo sobre los orígenes y usos del número "i".
Otros algoritmos para encontrar un número primo
Existen diferentes métodos para identificar los números primos, y uno de ellos es una variante de la criba de Eratóstenes conocida como criba de Sundaram.
La criba de Sundaram se basa en listar todos los enteros naturales impares compuestos utilizando secuencias aritméticas colocadas en columnas. A través de esta metodología, es posible deducir los números primos mediante la complementariedad de los resultados obtenidos.
Pero hay otros métodos:
- La criba general de los campos numéricos,
- La prueba de primalidad de Solovay-Strassen,
- La prueba de primalidad de Miller-Rabin,
- El algoritmo AKS,
- Los primos de Proth,
- Los primos de Woodall,
- Los primos de Cullen...
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Los números primos particulares
Hay números primos particulares, definidos por restricciones particulares.
Los números primos de Pitágoras
En ocasiones, los números primos que se pueden expresar mediante la fórmula 4n + 1, donde n es un entero natural, son conocidos como números primos de Pitágoras. Por ejemplo, el número 5 se considera un número primo de Pitágoras.
Se dice que un número primo impar es de Pitágoras, si este puede ser representado como la suma de dos cuadrados.
Los números primos de Mersenne
Los números primos que siguen la fórmula mencionada, donde "p" es un número entero natural, reciben el nombre de números primos de Mersenne.
Actualmente, se conocen 50 números primos de Mersenne, pero continúa la búsqueda de más utilizando el método de prueba de primalidad de Lucas-Lehmer.
El último número primo de Mersenne descubierto se encontró en enero de 2018. ¿Quién sabe? Tal vez tú puedas ser quien descubra el siguiente.
Los números primos de Fermat
Los números de la fórmula Fn = 2°+ 1 se consideran números de Fermat.
Sin embargo, F5 solo se considera semi-primo, ya que es divisible por 641. Los investigadores continúan buscando otro número de Fermat.
Números primos gemelos
Cuando dos números primos solo se separan por una diferencia de 2, se les denomina números primos gemelos.
Por ejemplo, 3 y 5 son considerados números primos gemelos, al igual que 5 y 7, y 11 y 13. Existe una infinitud de números primos gemelos.
Por cierto, ¿ya lo sabes todo sobre el número Pi?
¿Cuál es la utilidad de los números primos?
El conocimiento de los números primos tiene diversas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, en el campo de los cálculos fraccionarios, descomponer los números en factores primos facilita el proceso y puede contribuir a simplificar fórmulas matemáticas.
Históricamente, los números primos se consideraban principalmente un tema matemático. No obstante, esto cambió en la década de 1970 con la introducción de nuevos sistemas de criptografía. Hasta entonces, la criptografía se basaba en el uso de una misma clave para cifrar y descifrar mensajes, lo que se conoce como criptografía simétrica.
A finales de los años 70, se desarrolló un sistema de criptografía asimétrica aprovechando las propiedades de los números primos y la factorización. Este sistema emplea dos claves: una para cifrar y otra para descifrar información.
En cmbio, hoy en día, se utiliza el producto de dos enteros grandes de hasta 200 dígitos como clave de cifrado en sistemas de criptografía. Para calcular la clave de descifrado, es necesario conocer los dos factores primos que componen dicho producto. Este sistema sigue siendo utilizado en la actualidad para generar firmas digitales y asegurar la autenticidad de la información.
Además, los números primos han sido fundamentales para resolver diversos problemas aritméticos, como el teorema de los dos cuadrados, el teorema de los cuatro cuadrados y la ley de reciprocidad cuadrática. Estos avances en la comprensión de los números primos han tenido un impacto significativo en el campo de las matemáticas y han permitido abordar y resolver una amplia gama de cuestiones aritméticas complejas.
Además, los encontramos en los enteros de Gauss y los enteros de Eisenstein.
¿Qué sabes de el número áureo?
Los números primos continúan siendo enigmáticos y rodeados de misterio.
A pesar de que durante la educación primaria y secundaria nos enfocamos en fracciones, ecuaciones, logaritmos, números racionales y la división euclidiana, los matemáticos continúan explorando el mundo de los números primos y siguen surgiendo preguntas sin resolver:
- Los problemas Landau:
- La conjetura de Goldbach.
- La conjetura delos números primos gemelos.
- La conjetura de Legendre.
- La existencia de una infinidad de números primos de la fórmula: n2 + 1.
- La existencia de una infinidad de números primos de Sophie Germain.
- La conjetura de Polignac.
- La hipótesis H de Schinzel.
- La conjetura de Bateman-Horn;
- No sabemos si hay una infinidad de números primos de Fermat o de Mersenne o de Fibonacci.
- Tampoco se sabe si hay una infinidad de números primos factoriales.
- Una conjetura deDaniel Shanks: la conjetura indica que todos los números primos aparecen en la secuencia de Euclid-Mullin.
- La espiral de Ulam (o el reloj de Ulam), el cual hasta ahora no está completamente explicado.
Si te llaman la atención las conjeturas y los misterios numéricos, podemos recomendarte también nuestro artículo sobre los números perfectos.
¿Cómo memorizar los números primos?
Las estrategias mencionadas anteriormente pueden aplicarse para memorizar cualquier número real. Se ha observado que, para retener una secuencia de dígitos, como los primeros 25 números primos, es necesario involucrar tus sentidos y emociones.Por ejemplo, si tienes una memoria visual, puedes asociar números con objetos o personajes:
- Al 0 con un círculo.
- Al 1 con un lápiz o una vara
- Al 2 con un cisne.
- Al 3 con un caballito de mar.
- Al 4 con un velero o una banderita.
- Al 5 con una serpiente o una S.
- Al 6 con un caracol.
- Al 7 con un acantilado visto de lado.
- Al 8 con un reloj de arena o un infinito en vertical.
- Al 9 con un globo colgando de un hilo.
¡Deja volar tu imaginación! y crea referencias de los números a partir de objetos que ayudarte en la recordación. Algo fuera de lo común, pero efectivo.
Aunque también puede ser más complicado, pero factible si tienes habilidad para memorizar palabras; puedes asociar una palabra a cada número del 0 al 100 y luego construir oraciones de ejemplos con estas palabras.
Sin embargo, entre nosotros, es más beneficioso aprender a encontrar los números primos tú mismo; en lugar de intentar memorizarlos, a menos que desees impresionar a tus amigos y familiares.
¿Sabías que existen fórmulas para encontrar rápidamente los números primos? En caso de que no las conozcas, te animamos a descubrir todos estos secretos y trucos matemáticos tomando clases particulares de matemáticas con un profesor de Superprof Perú.
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