«Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida». - John Von Neumann
Si formas parte de aquellos que nunca han logrado comprender las matemáticas, es posible que encuentres difícil aceptar esta afirmación.
Las matemáticas han existido desde tiempos remotos. Si consideramos el descubrimiento del hueso de Ishango (hace más de 20,000 años), se podría argumentar que es la primera evidencia del conocimiento de los números primos y la multiplicación, aunque esto sigue siendo motivo de debate.
Aunque las matemáticas siguen siendo un enigma para muchos, hay quienes las ven como una poderosa herramienta para comprender y analizar el mundo que nos rodea. En este artículo, te invitamos a descubrir qué son los números perfectos y su utilidad (spoiler: no te permitirán mejorar tu vida cotidiana).
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¿Cuál es el uso de los números perfectos?
Primero hay que conocer cuando un numero es perfecto, pues un número es perfecto cuando un número natural es igual a la suma de sus divisores propios positivos.
La historia de los números perfectos
Los números perfectos están relacionados con la búsqueda de los números primos de Mersenne. De hecho, la proposición 36 del libro IX de Elementos de Euclides dice que si el número de Mersenne 2n - 1 es primo, entonces 2n-1 (2n - 1) es un número perfecto.
René Descartes confirmó en una carta a Mersenne que cualquier número perfecto par es euclidiano, pero no demostró su teoría. En cambio, el matemático suizo Leonhard Euler fue el primero en dar una demostración a la observación de Descartes. La combinación de los resultados de Euclides y Euler permitió obtener una caracterización completa de los números perfectos pares.
Los primeros cuatro números perfectos son conocidos desde la antigüedad y se mencionan en las obras de Nicómaco de Gerasa y Teón de Esmirna. El quinto número perfecto aparece en un códice latino de 1456. Los números perfectos sexto y séptimo fueron descubiertos por Cataldi en el siglo XVI, y el octavo fue encontrado por Euler en 1772.
En los años 50, teníamos conocimiento de 12 números perfectos. Sin embargo, la búsqueda se aceleró en las décadas siguientes gracias a técnicas cada vez más avanzadas y al uso de computadoras, especialmente a través del proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) en los años 90.
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¿Cuál es el propósito o utilidad de los números perfectos?
Si bien los números primos son ampliamente reconocidos como fundamentales en el campo de la aritmética, los números perfectos no poseen una utilidad específica en términos de resolución de ecuaciones, factorización o aplicaciones en criptografía.
Históricamente, los números perfectos han sido considerados como superiores a otros números, y algunos incluso les atribuían un significado místico. San Agustín, en su obra "La ciudad de Dios" (420 d.C.), afirmaba que el número seis era perfecto en sí mismo, no porque Dios creó todas las cosas en seis días, sino porque ese número era perfecto.
Los números perfectos son enigmáticos dentro del campo de las matemáticas y la búsqueda de nuevos ejemplares continúa siendo una fascinación para muchos matemáticos en la actualidad.
Existen múltiples conjeturas relacionadas con los números perfectos. Una conjetura es una afirmación que aún no ha sido demostrada. A continuación, se presentan tres de ellas:
- Los números perfectos de Euclides son todos pares ya que uno de los factores es una potencia de 2. Pero nada prueba, por el momento, que no haya números perfectos impares;
- Todos los números perfectos conocidos terminan en 6 o 28, pero de nuevo eso puede no ser siempre así;
- Tampoco se ha demostrado que realmente haya infinitos números perfectos.
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La prueba de los teoremas de los números perfectos
El teorema de Fermat en 1640: es Mn = 2 n - 1; si Mn es primo, entonces n es primo.
Para establecer que cuando 2 n - 1 es primo, n es primo, hay que demostrar la afirmación si n es compuesto, entonces 2 n - 1 también es compuesto.
Es decir, n = ab, con a, b > 1, y la identidad xk - 1 = (x - 1) (x k-1 + x k-2 + · · · + x + 1) en la que x = 2a y k = b.
Entonces 2ab - 1 = (2a - 1) (2a (b-1) + 2a (b-2) + · · · +2a + 1), que muestra que 2n -1 = 2ab -1 es compuesto, ya que factoriza como dos factores, cada uno mayor que 1 (porque a > 1).
El teorema de Euclides: si Mn es primo, entonces 2n-1 Mn es un numero perfecto.
Admitimos la función ?(n) como la suma de todos los divisores del entero positivo n. Un numero perfecto k se caracteriza por ?(k) = 2k.
La función ? tiene la siguiente propiedad: si a y b son dos naturales primos entre ellos, entonces ?(ab) = ?(a)?(b).
Por otra parte:
- como Mn es primo, tenemos ?(Mn) = 1 + Mn = 1 + (2n- 1) = 2n;
- ? (2n-1) = 1 + 2 + 22+ 23 + · · · + 2n-1 = 2n - 1 = Mn.
Entonces ?(2n-1 Mn) = ? (2n- 1)?(Mn) = Mn 2n = 2 (2n-1 Mn).
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¿Cuáles son los números perfectos?
Los números perfectos son raros.
Aunque existe un consenso entre los matemáticos de que hay una cantidad infinita de números perfectos (aunque no se ha demostrado), hasta el día de hoy solo conocemos 50 de ellos, y aún no estamos seguros de que no haya números perfectos intermedios aún por descubrir después del número 47.
El más reciente número perfecto fue descubierto en enero de 2018. El descubrimiento de un nuevo número primo extremadamente grande implica el descubrimiento de un nuevo número perfecto, como sucedió con el número 2??²³²?¹?-1.
Hasta ahora, solo se han identificado tres números perfectos menores a 1000: 6, 28 y 496. Parece que los números perfectos pares terminan en 6 u 8, aunque esto no ha sido demostrado de manera sistemática.
Los números pares perfectos generados por la fórmula 2n-1 (2n - 1) tienen una relación con los números triangulares e incluso los números hexagonales. Además, todos los números pares perfectos, excepto el primero, pueden expresarse como la suma de los primeros (n-1)/2 cubos impares. A modo de ejemplo:
- 28 = 13+ 33,
- 496 = 13+ 33 + 53 + 73,
- 8128 = 13+ 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.
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Los primeros ocho números perfectos
Los primeros ocho números perfectos son:
- 6
- 28
- 496
- 8128
- 550.336
- 589.869.056
- 438.691.328
- 2 305 843 008 139 952 128.
Para conocer cuantos números perfectos existen, puedes escribir en Google «lista de números perfectos».
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Números impares perfectos
Hasta ahora, no se ha encontrado evidencia de la existencia de números perfectos impares. Todos los ejemplos conocidos son números pares, pero esto no descarta la posibilidad de que existan números perfectos impares.
A pesar de los avances en la investigación, ninguna ha logrado confirmar o refutar esta hipótesis. Carl Pomerance ha propuesto un método heurístico que sugiere la no existencia de números perfectos impares.
Un número perfecto impar, si existiera, debería cumplir las siguientes condiciones (según la fuente de Wikipedia):
- N debe tener más de 300 dígitos si existe y ser mayor que 101500
- N es de la fórmula
donde:- q, p1,..., pkson números primos distintos (Euler),
- q ? ? ? 1 (módulo 4) (Euler)
- El factor primo más pequeño de N es menor que (2k + 8)/3,
- La relación e1? e2 ?... ? ek ? 1 (módulo 3) no se cumple,
- q?> 1062 o pj2ej > 1062 por al menos uno j,
- N es menor que 24k+1
- si ei? 2 para todo i:
- el divisor primo más pequeño de N es al menos 739,
- ? ? 1 (módulo 12) o ? ? 9 (módulo 12),
- El divisor primo más grande de N debe ser mayor que 108.
- El segundo divisor primo más grande de N debe ser mayor que 104y el tercero que 100.
- N debe tener al menos 101 divisores primos y al menos 10 divisores primos distintos. Si 3 no es un divisor de N, entonces N tiene al menos 12 divisores primos distintos.
En caso de que los números perfectos impares existan, ninguno de ellos sería divisible por 105. Además, ningún número de Fermat puede ser considerado perfecto.
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Números triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos
Además de los números perfectos, existen los números triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos.
Pero no te preocupes, es poco probable que tu profesor te pregunte sobre estos conceptos adicionales. Sin embargo, si estás interesado en saber más, aquí tienes algunos detalles adicionales sobre ellos.
Los números triperfectos
Un número triperfecto siempre es un número par. En caso de que exista un número triperfecto impar, este será mayor que 1050. La suma de todos los divisores de un número triperfecto, incluyendo al número mismo, es igual a tres veces el valor del número. Por ejemplo, 120 es un número triperfecto ya que la suma de sus divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120) es igual a 360, que es tres veces 120.
Solo conocemos 6 triperfectos:
- 120
- 672
- 776
- 818.240
- 476.304.896
- 001.180.160.
Los números multiperfectos
La suma de todos los divisores de un número multiperfecto, incluyendo al número mismo, es igual a k veces el valor del número.
Hasta el orden 8, los matemáticos han descubierto más de 500 números multiperfectos y se cree que se conocen todos los multiperfectos de orden 3 a 7.
- 25x 33 x 5 x 7 es el primer tetraperfecto,
- 27x 34 x 5 x 7 x 11 x 17 x 19, el primer pentaperfecto,
- El más grande conocido es 7,3 101345
Los números hiperperfectos
Un número hiperperfecto es tal que n = 1 + k (o(n) - n - 1).
Un número 1-hiperperfecto es un número perfecto.
- Un número 2- hiperperfecto (HP) tiene la fórmula 2o(n) = 3n + 1:
- 21, 2 133, 19 521, 176 661...
- Un número 3-HP tiene la fórmula 3o(n) = 4n + 2:
- 325 y ningún otro hasta n = 1 000 000
- 4-HP: 1 950 625, 1 222 640 625, 186 264 514 898 681 640 625
- No hay ningún 5-HP conocido
- 6- HP: 301, 16 513, 60 110 701, 1 977 225 901, 2 733 834545 701, 232 630 479 398 401.
Comprender los conceptos de números perfectos, triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos no será de utilidad inmediata para resolver los ejercicios de matemáticas en la secundaria. Es más recomendable enfocarse en temas como fracciones, división euclidiana, logaritmos y razonamiento geométrico.
Sin embargo, si decides continuar con el estudio de las matemáticas, podrías encontrar un interés especial en investigar sobre los números perfectos y profundizar en ese campo. Quién sabe, tal vez los números perfectos se conviertan en un tema de investigación para ti en el futuro.
Descubre también la historia de los números primos de la mano de un profesor online matematicas.
¿Quizás hemos avanzado demasiado rápido? De hecho, nos hemos precipitado y hemos presentado más números que letras en este artículo. ¿Todavía no has progresado mucho en tu asignatura de matemáticas? ¿Necesitas una revisión de los conceptos fundamentales? ¡Nosotros tampoco somos expertos en exceso! Comencemos de nuevo desde el principio y definamos de manera sencilla qué es un número perfecto.
¿Qué es un número perfecto?
El hecho de llamar "perfecto" a este tipo de números no es una coincidencia. La palabra "perfecto", derivada del latín "perfectus", es definida por la Real Academia Española como "adjetivo que se aplica a aquello que tiene el grado máximo de excelencia en su categoría, que posee el nivel más alto de una determinada cualidad o característica". En otras palabras, se refiere a un elemento o entidad que exhibe el más alto nivel de excelencia en comparación con otros elementos o entidades de su misma naturaleza. En resumen, se trata de algo que es perfecto.
¿Y qué se considera perfecto en el ámbito de las matemáticas? Es posible que estés pensando que la idea de perfección es un tanto subjetiva y depende de la comparación que se haga. En efecto, si nos atenemos a la definición estricta del término, es cierto. Sin embargo, en matemáticas se han asociado una serie de características a la palabra "perfecto". Por lo tanto, si un número cumple con estas características, se considera perfecto, mientras que si no las cumple, no lo es (por muy perfecto que nos pueda parecer de otra manera).
¿Qué características tienen los números perfectos?
Un número perfecto se define como aquel que es igual a la suma de sus divisores propios, es decir, los divisores excluyendo al propio número. Es importante recordar que los divisores de un número natural son otros números naturales que pueden dividirlo sin dejar resto. En otras palabras, la división es exacta.
Cada número tiene una cantidad específica de divisores. Por ejemplo:
El número 12 se puede dividir (entiéndase «se puede dividir» como que la división es exacta) entre:
12:1=12
12:2=6
12:3=4
12:4=3
12:6=2
12:12=1
Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
¿Qué más necesitábamos para saber si es un número perfecto? Que la suma de sus divisores (exceptuando él mismo) sea igual al número.
Por lo tanto, cogemos los divisores y los sumamos: 1+2+3+4+6=16
¿Es la suma igual al número? 16 ? 12 No, por lo tanto el número 12 no es un número perfecto.
Vamos a probar con otro número, el 6.
El número 6 se divide entre:
6:1=6
6:2=3
6:3=2
6:6=1
Los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6. Vamos a sumarlos (excepto el propio número): 1+2+3=6
¿Es 6 un número perfecto? 6=6 ¡Sí!
El siguiente número en la lista es el 28. Sus divisores son 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Si sumamos estos divisores, obtendremos: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. ¡Bingo! El número 28 es un número perfecto.
Después del 28, encontramos el número 496, y a continuación el 8128. Como puedes observar, a medida que avanzamos, los números se vuelven cada vez más grandes, lo que hace que la factorización sea más compleja.
Ahora que ya tenemos claridad sobre qué son los números perfectos, vamos a adentrarnos un poco más en la historia de estos números especiales. Aunque en la introducción del artículo ya te hemos dado una pequeña idea sobre su descubrimiento, ahora vamos a describirlo con más detalle.
Historia de los números perfectos
San Agustín, también conocido como Agustín de Hipona (354-430), fue un destacado filósofo, escritor, matemático y sacerdote romano. Es probable que hayas oído hablar de él si has estudiado filosofía, ya que es uno de los filósofos que se suelen abordar en esta materia. Al igual que muchos intelectuales de su época, San Agustín fue una de esas personas que exploraban y profundizaban en diversos campos del conocimiento, desde la filosofía hasta las matemáticas, que están más relacionadas de lo que podríamos pensar en la actualidad.
En su obra "La Ciudad de Dios", San Agustín sostuvo que los números perfectos tienen una razón de ser. Explicó que el número 6 es perfecto porque Dios creó el mundo en seis días. Según él, el número 28 está relacionado con los días que la luna tarda en completar una órbita alrededor de la Tierra. Esta afirmación ha generado cierta controversia, ya que plantea la cuestión de si estas correspondencias son casuales o no.
En cuanto a los siguientes dos números perfectos, el 496 y el 8128, no se les ha atribuido una explicación específica. Estos cuatro primeros números perfectos ya habían sido descubiertos en el siglo I por Nicómaco de Gerasa, un filósofo y matemático que vivió en una antigua ciudad de la Decápolis, perteneciente al Imperio Romano y que en la actualidad se encuentra en Jordania.
Para encontrar el quinto número perfecto, debemos remontarnos al siglo XV, ya que fue en un manuscrito de esa época donde se mencionó por primera vez el número 33,550,336 como el quinto número perfecto. El sexto y el séptimo número perfecto, 8,589,869,056 y 137,438,691,328 respectivamente, fueron descubiertos un siglo más tarde, en 1588, por Pietro Cataldi, un matemático italiano.
Llevamos solo siete números y las cifras ya son enormes. El octavo ya pasa a otra dimensión: 230. -M31 (donde M31 es 2 147 483 647, el trigésimo primer número de Mersenne) y fue descubierto por Euler en 1750. Aquí ya nos hemos vuelto a perder.
¿Qué es el número de Mersenne? Un número de Mersenne es un número entero positivo, m, que es una unidad menos que una potencia entera positiva de 2. Esto sería:
Al igual que ocurre con los números perfectos, solo se tiene conocimiento de un número limitado de números de Mersenne. Estos números reciben su nombre en honor a Marin Mersenne, un filósofo, matemático y sacerdote francés que formuló una serie de postulados sobre estos números en el siglo XVII.
A partir de los fundamentos establecidos por Mersenne, fue Euler quien continuó con el descubrimiento de estos números especiales. Leonhard Paul Euler, un reconocido matemático y físico suizo, no solo contribuyó al hallazgo del octavo número perfecto, sino que también es conocido por su trabajo en el número de Euler (e), el cual se utiliza en diversas fórmulas de física y cálculo.
A medida que se desarrollaban las calculadoras y se producían avances tecnológicos, se hizo posible realizar cálculos con números cada vez más grandes. Gracias a estos avances, se calcularon los siguientes tres números perfectos, siendo el último de ellos un número con alrededor de 770 cifras.
Con la llegada de los ordenadores, como el supercomputador Cray-2, se pudo continuar progresando en la realización de estas operaciones que requerían cálculos matemáticos altamente complejos.
En este nuevo siglo, la búsqueda de nuevos números especiales no ha cesado. George Woltman ha desarrollado un proyecto de computación distribuida que se compone de programas que analizan números de Mersenne. Este proyecto recibe el nombre de GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Gracias a este programa se han hallado más números perfectos dado que se obtienen a partir de números primos de Mersenne. El último y más elevado número primo de Mersenne descubierto es el 257.885.161- 1 , el 25 de enero de 2013. De ahí se obtuvo el número perfecto más grande descubierto a día de hoy: 257.885.161 (257.885.161-1). Este número perfecto tiene nada más y nada menos que 34 850 340 cifras. No es tanto, ¿no? ¿Cuántas páginas necesitaríamos para escribirlo entero?
Para concluir, repasaremos algunas de las curiosidades sobre los números perfectos que mencionamos anteriormente en el artículo, con la esperanza de despertar tu interés por investigar más sobre estos números especiales.
Hasta ahora, todos los números perfectos descubiertos son pares y terminan en 6 u 8. ¿Por qué sucede esto? ¿No puede haber números perfectos impares? Parece que la condición de ser impar no es sinónimo de ser perfecto... Este sigue siendo un enigma. Aunque no se han encontrado números perfectos impares hasta el momento, tampoco existe un argumento concluyente que demuestre su inexistencia. Por lo tanto, la posibilidad de que existan sigue abierta.
Actualmente, conocemos un total de 48 números perfectos. No es una cantidad muy alta, ¡y ya estamos hablando de cifras impresionantes! Se cree que existe una infinidad de números primos de Mersenne, de los cuales se derivarían infinitos números perfectos (¡todos pares!). Sin embargo, todavía no se ha logrado determinar si existen infinitos números perfectos o no. Es un tema que sigue sin resolverse.
Tanta perfección puede resultar abrumadora. De hecho, el mundo de las matemáticas es fascinante y, al mismo tiempo, desafiante. Es sorprendente todo lo que se ha descubierto, pero aún más sorprendente es pensar que esto es apenas una pequeña parte de todo lo que queda por descubrir.
La ciencia, la tecnología y el ser humano continúan inmersos en la búsqueda infinita de nuevos enigmas y descubrimientos.
Esperamos que este artículo te haya sido útil y haya despertado tu interés en este campo. Recuerda que contamos con profesores expertos en matemáticas que estarán encantados de ayudarte con tus clases. Te encantará trabajar con ellos, ya que son personas apasionadas por las matemáticas y esa pasión es contagiosa.
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